2021对外经济贸易大学199管理类联考考研知识之实数绝对值和比例

饮霜

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大家好，今天分享的主要内容是实数绝对值和比例，先看一下目录大概今天就两方面内容，首先给大家梳理一下第一章的一些基础知识，然后再通过例题来讲解，给大家巩固一下知识点。因为大多数的知识点的话，它的运用以及一些不太基础的提高性一点的知识点，他是通过做题你才能更加清楚的了解的。所以管综数学的复习当中，不管是讲课还是你自己复习，他的做练习题都是最主要的一个方面。

我们先看一下基础知识点的梳理，一首先第一块是实数，食宿的话，先看一下树的概念与性质，包含哪些什么？整数和自然数。整数的话大家都清楚了，-1-2012，然后自然数就从0开始01234这些。那么需要注意的一点就是最小的自然数是0，最小的自然数是0，然后整数的话，整数可以分成正整数，0和负整数，然后正整数和0呢？放在一起就是自然数。大家都清楚。都清楚。

我们说质数和合数，质数和合数，首先你要了解它的定义指数是什么，指数是如果一个大于一的正整数，只能被一和它本身整除。那么正整数叫指数，核数就是除了一和它本身之外，还能被其他正整数整除，这样的数叫合数。质数和合数在这一块是比较重要的一个知识点，很多题目它都会涉及到制作和书的性质，让你来求一些然后他需要注意的几点，首先一一，它既不是质数，也不是合数，然后最小的和数是4，最小的质数是二，然后二的话是一个非常重要的指数，你之后会遇到很多题目，你要求解，都要涉及到二指数，为什么？因为它是唯一的一个偶质数，就剩下所有的其它指数都是技术，只有一个2是偶数，所以如果两个质数的和或者差是奇数的话，肯定那么其中必然有一个数字。

那么如果两个质数的积是偶数的话，那么其中也必定有一个是二，这一点需要注意一下。

然后基数和偶数的话没什么好说的。据说我说大家都知道，然后0是属于偶数的，然后还有相邻的整数是必定一级有的。这很简单。再说整除倍数和约束，这一块整除倍数约束大家概念应该都清楚，要说的一个最大公约数，还有一个就是最小公倍数，最大公约数的话，用小括号来表示最小公倍数是用中括号来表示，到时候大家题目中预言要清楚要知道它是什么意思。好的。

讲到哪了？最大公约数和最小公倍数，最小公倍数就是几个数？公公有的倍数叫这几个数的。最小的一个公有的倍数中，最小的一个就是比如说最小公倍数，然后最大公约数就是公有的约束中最大的举个例子，像求最大公约数和最大公约数，最小公倍数一般，我们使用分解质因数法，分解质因数。

我记得应该是初中还是高中留学的，首先两个数，比如说12和18，然后我们求最大公约数，一般用的是短除法中叫短除法，说先除以个2，这个是6，这个是9。然后再一个3，这个是2，这个是3，然后一直到这两个数，护职再没有别的公约数了。这个时候这两个存在一起，他的最大公约数，这4个乘在一起就是它的最小公倍数，这是两个数的最小公最大公约数，最小公约数是多少？

然后我们再看一下三个数，或者更多三个数，还有更多的之后都差不多。三个数的话也是西安先出个2，然后这是6，这是9，这是10。三个数找不到可以同时出的，那就找两个数可以同时。比如说6和9，几个三？那么这边是二，这边是三，是直接带下来，然后我们再找有没有两个数可以的？两个数可以的话，二跟10有一个公约数，那是二。然后三不算的话三就直接咱就直接写。然后这边÷25，然后知道三个数之间，两两之间再也找不出他的公一个公约数。这个时候跟刚才一样，左边这一列存在一起它的最大公约数，左边这一列加下面这三个乘在一起就是它的最小公。

公约数和公倍数比较重要的一点。说实数食宿的话，按性质和按符号分，性质的话就有理数无理数，符号就是正指数和负指数，在这里需要注意的是有理数和无理数这一块，有理数无理数的话，会考的考点就是有理数和无理数的加减乘除运算就是有理数，加有理数无理数加无理数，有理数加无理数。他加减之后会是什么数？比如说一个有理数，乘上一个无理数，它还是一个物理数，一个有理数减去一个无理数也是一个无理数。

这一点后面讲题的时候会给大家讲到，还是要根据考题根据考题来具体的了解这个东西。另外能够这些数整除的一个特点，这一点是很重要的。涉及这些题目的话，你如果掌握了这个东西，做题会非常方便，比如说能被二整除的大家都知道，我们比较清楚的就是能被二三和5还有10整除这些对不对？这些我们基本上比较清楚，而剩下这些不清楚的话，我会给大家讲一下。

四的话能被四整除，就是末两位的数字，也就是说这位数字这个数字的10位和个位数字加在一起。比如说一个随便举一个100百多少？128。就这两个数字，这两个数字如果能被四整除的话，那么他就是这个数据能被四整除的，28是可以被4整除的，所以这个数能被四整除的。然后8的话就是末三位，末三位能被八整除，跟上面这样也是一个道理。6的话，6是同时被2和3能够同时被二和三整除的，同时满足被二和被三整除，这个数据是能够被6整除的，9的话跟3一样，三是所有数位的数字加在一起能够被3整除，9就是所有数位的数字加在一起能被9整除，那么这个数就是能被纠正出的。

1111的话有些复杂，11它是比如说一个数字12345随便写的，可能1234他他应该是处不了。它的基数为以上和20，这两个加在一起13加一起是424加在一起是6，它们相减能否被十一整除？如果她拣出来是-11能被11整除的话，那么这个数能被能被十一整除的，这一点大家一定要记牢，这一点很重要。

知识点，接下来说绝对值绝对值的话，觉知先看定义，首先正数的绝对值是它本身，然后负数的绝对值是它的相反数0的绝对值还是0？

数学表达式实际表达式就是这样a的绝对值，然后分政府两种情况，如果a是正数的话，那么是它本身没有大于等于0。如果a是负数的话，那么它相反数就是负a可以。

对绝对值的数学描述，然后绝对值有以下这几个性质，首先对称性很简单，负a的绝对值和a的绝对值是一样的，这很容易理解，就互为相反数的两个数，它绝对是相等的。然后等价性运用的是非常多的，也是比较灵活的方面的知识。比如说a的平方的绝对值，a的平方，然后开根号，等于a的绝对值，然后a的绝对值的平方等于 a的平方的绝对值等于a的平方，这是等价性。

然后这个字比性的话，也就是一个数， a它是大于等于。负的 a的绝对值小于等于 a的绝对值，这一点大家记一下就可以。不是非常重要，但是由他推导出来的若x绝对值比上x它等于x比上x的绝对值，根据x的正负情况，如果x是证的，那么它是等于1，如果x是负的，那么它等于-1。然后非负性的话，非负性也就绝对值都是非负的，肯定是大于等于0的这一点没必要在强调了。

大家都知道剩下的基本不等式和三角不等式是非常重要，特别是三角不等式，在整整个在整个广东的数学中都是一个非常重要的知识点。那么基本不等式，也就是我们拿来开根号，也就是说如果a的绝对值如果 x如果x的绝对值小于a那么 x大于负a小于a的 a一定要大于0，因为绝对值不可能小于0，然后x的绝对值大于a的话， x小于a消费税或或者贝克斯大约同样要求a是大于0的，然后三角不等式的话，这个公式大家一定要记得非常清楚，书上可有的书上可能是这样写的， a的绝对值减b的绝对值它是小于等于 a加b的绝对值，然后再小于等于 a的绝对值加上b的绝对值，这个公式还能再完善一下，就是说它加减都是可以的。

中间也可以是减号，然后这边在绝对值外面还是还要再加一个绝对值，这样就可以保证 a b一定是一个证书，就这一块一定是个正数，如果它是一个负数的话，那么我们这边是肯定成立的。三角不等式需要重点记的两点，一个是这个公式，还有一个就是等式成立的条件。等式成立条件总共有4个，4个的话大家也不用死记硬背，有一个非常简单的方法，就是可以帮助大家记一下。

首先首先我们看 a加b和 a的绝对值加b的绝对值，这右边这个是看他是在什么情况下他才能成，他等号能成为怎么记方法？就是如果看中间这个符号，这边是加同号的话，同号的话那么就要求同号的话，等式成立就要求ab是大于0。如果异号的话，一家闭合也是绝对值减b的绝对值。这两个等号成立也就是左边这一块，这个等号成立的话，加上减号因为是异号，所以就要求ab小于0，这是他等式成立的条件。然后另外两个也是同号的话要求ab大于等于0，是大于等于0，这个是小于等于同号的话要求大于等于。

一号的话要求小于0，大家可以用这个方法来记一下，3角5的是记得非常快，然后说比和比例比和比例的话，比大家都知道两个数相除，又叫这两个数的比， abb的话，那么A就是这个钱相必就是候选，相处所得到的伤叫做比值。比值用百分数的形式表示的话，那就成为百分比。

比例也就是相等的比称为比例。

比例的话，有一个内外向 a比b等于c比d这样写出来a和d就是外向，b和c就是内向，比例内向，这个了解一下就可以。正比和反比都不用说了，很简单。

比例的基本性质，这边有一个就是内外向乘积相等，就是a乘d等于b乘c大家也都知道，这一块最重要的就是这几个定义，更比三比和比分比、合分比和等比，大家最好都给他记下来，也不是非常难更比，由纵向比改成横向比，比如说a比b等于c比d这是竖着比的。

然后他可以推出什么，它横着比也是成立的，也就是abc等于这叫根笔定律。反比定理的话，反比顾名思义上下相反，安培定理 a等于dbc然后何必何必就是左右两边各加一个一+1。这边也加一，然后再通分可以得出什么？得出一个结果。 B分之。 A加b等于地分支 c加d分别就是减一，然后大家可以自己退，和分比的话，合分比上加下减，商品是a加b下面是a减b然后上面是c加d下面是c减d等比的话灯壁很重要，都没定义，非常好用。

做题的时候，当彼定理大家一定要熟练运用，比如说abc等于 A B A B B abb等于 C B D等于那么等比定理是什么呢？也就是等比定理，上面加起来，下面加起来一起比a加c+1比上 b加d加f跟前面是相等的。相等。有一点需要注意，也就是b加d加f它是不能等于0，分母不为0，这个不等于0。这一点你在运用的时候在做题用等比定理的时候一定要注意这一点。要不然容易做错。所以这一块大家几个定理记清楚，比和比例的重点。

然后平均值的话，算术平均值和几何平均值，算术平均值，大家都清楚， x1+x2+一直加到xn加到xn然后除以n三数平均值，几何平均值存在一起，然后开根号几个数相乘就开几次根号？X 1x2一直乘到x3，看样子根号。

好，几何平均值基本定理是什么？基本定理。比如我们说均值定理，他的算术平均值是不小于几何平均值的，也就是说上面这个是大于等于下面，它大于等于它。而且有一点需要注意的是几何平均值，他的他要求的他是只只是对于正数而言，也就是说acx2x一直到x3这些数都必须是正数，这也就是为什么我们在均值定理里面要求一正二定三相等的时候，说的一证是因为几何平均值它只只是对证书而言的，所以你均值定理，你的你的数必须是大于0的。

好，这一点一定要注意。等号成立的条件的话， x1=x2=一直等于x3，就是所有的x都相等的，这样的情况下等号是成立的。然后常见的运用这一块就均值定理非常重要，然后它的运用运用的话，做题中用的最多的也就是均值定理。班用的最多就是a加b大于等于两倍的根号下ab也就是一个算数平均值，大于几何平均值，然后把1/2拿到这边很简单，然后光这样说这些公司的话也非常枯燥，然后就是说如果你要你公示可能能记住，但是你要是能够熟练运用这些公式，知道他更深层次的内涵，知道他怎么变形怎么运用，一定要通过大量的习题来巩固这些知识点。所以在复习的时候，大部分的时间还是用来讲习题的，所以我们上课的时候也是会练习题讲的比较多一点。

我们先就来看一下我选的一些例题。首先到应用题，到涉及到我们10数的应用题，某人左右两手分别握了若干颗石子，左手字数乘三加右手是鹿城六之和为29岁，右手食指数为下面给奇数偶数、质数、合数，也就是说你要判断一下他右手的食指数是个什么数？我们先看一下，一般大家肯定会设xy比如说左手x个柿子，右手y个柿子，做这部大都会，然后试点的列出来三x加6万等于29。我都有这个气。

记写错了，这个是4，6的话可能算不出来。就三x加4万等于29。

做这部大家都会，然后让求xy x y首先一个不定方程，两个未知数，一个式子，不定方程的话，这样单看单解肯定解不出来，但不定方程最重要的一点是什么？最重要一点就是不定方程它的限制条件，限制条件就是x和y必须是正数，必须是整数，必须是整数，整数的话我们就可以通过穷举然后来找出合适的 x y的值。

这里我们就有带数据女士，那就拿29-4万÷3，x等于。为什么4减4万的话，你就可以少试几个数？你减三x的话，你还得多试几个？减-3x你可能要试到9减4万就是10~7就可以了。有1234567、56，其带到外面125÷3，不是整数，二十一三是整数。所以这个数然后3也不行，4也不行，5的话五20、20、35和3，然后6不行西不行，然后所以最后算出来符合条件的就是这两组数。

这两组数的话，那么y要么=2，要么等于5，y是2或者5，我们看这两个数是什么性质？这两个数首先一个系一个技术不行，偶数不行，核数的话，两个都是两个都不是合数，两个都是质数，2和5直接选c然后下一题，一般同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学，在这班同学的人数这个怎么做？

首先我们设假设一下，假设一下你首先有个男同学，首先有个男同学她一边肯定是一个同性，一边是男性，然后另外一边是两个女性，这边有个女性，这样转圈，然后转一圈这边在游行，对吧？这是这样男生就符合这个男生所要求的条件，就是符合的。

我们再看这个男生他也是一边一个同性一边两个异性，然后看这个女生也是一边一个统计，一边两个一起也是一边两。比如说4个人的话是刚刚好满足这个条件的，如果你要再往里面加人的话，你肯定也得44个往里面加，才能满足，才能满足他的条件继续成立。也就是说你要加人44个往上加的话，那么数这个人数，同学人数，那么它就一定是4的倍数。可能需要一定的逻辑思维，大家自己下去多思考思考。

所以这题选的是a下一集的话是。他问有多少个4位数满足下列条件？首先本身各个数字都有基数，各位数字互不相等，然后各位数字都能整出它本身。这一题涉及到什么设计，首先有一个技术，然后还涉及到什么知识点？涉及它的整除，就是刚刚说那些能被什么123456789 10这些数整除的，它的有什么特点？

首先个位数都是奇数，技术有一位数的基数13579995个，5个的话4位数5选4，4有4，简单排列组合的话，有5种，首先13、57，然后1359，然后1379，1579，3579这5种5选4可以有这5种，就这4位数组成的这4个数组成的4位数，那么要看他各位数字能不能整除？它组成的数我们最好从3和9来看，因为3和9的话是各位数加在一起这样比较好算，你看我们首先验证它三的话，三能不能整除，它加在一起，它加在一起，16不能被三整除，所以说这4个数无论他怎么排列组合，它按照什么顺序组合成什么样的4位数？4位数绝对不能被三整除，所以就pass掉。然后再验证下面这几个18它是可以的，然后看他能不能被九整除，也是可以为9整除的。然后5的话一都可以整除，5的话只要5放，最后就可以被五整除。

然后再验证三和9发现他也不行，然后加在一起也不能被纠正出，加在一起也不能被三个组织，所以最后只剩这只剩1359，用这4个数组成的4位数，才有可能同时被他的 Google说各个数位的数字整除，我们要被五整除的话，那么五肯定得放在个位，因为整除5的数大家都指导证书五的数它满足的条件是末位为5或者0，所以你要让这一串树那么被5整除，你肯定得把5放在个位，剩下三个数就可以随便组合，因为3和9都是刚刚都有验证了，只要是这4个数组成的，3个9都能整出来。然后一的话也就不用考虑了，一可以整除所有的139就可以任意排列，139任意排列的话就是放在前面，前面任意排列也就是三的阶乘，做一个全排列，三阶乘也就是等于6，所以就总共有6个数，自己选一。

下面有理数无理数的问题，也就是我刚刚说的，它有理数的加减乘除运算，分别之后分别是什么数？

首先x一加 x+1和x乘上x-3是一个有理数，ox是一个无理数，么x平方是什么？ X平方的话我们可以它是个有理数，我们先把它乘出来，就是x的平方，知道。-2x-3，然后求x平方的话也就是这个数，他是有理数，加上一个2x+3，这样的话一个有理数，他是有理数。

三是有一处他们俩加在一起还是有理数，有理数加上一个二x首先x是个无理数，那么二x肯定也是个无理数，然后有理数加上一个无理数，那么还是一个无理数，所以x平方是一个无理数，x平方是一个无理数，那这个就是错的。收到了。后面也跟他一样，你给他开出来，x的平方减six+3，然后根据他根据他的话，它就等于x+1乘上x-3，然后再减一个2x有理数我们把它可以吧？减去一个2x a减去一个2x然后加上一个6，然后还是一样的，这个是有理数，这个是无理数，有理数减位数，还是一个无理数，所以它是对的。

后面也都这样算，就是x的平方加4，x+4，然后 a+6x假期我看一下。也是一个有理数。对。等一下具体我看一下。

X+1x这题好像这里是加上反正算就是这么算。弄清楚有理数和无理数的加减乘除，首先无理数就是一个有理数乘上一个无理数，乘上一个无理数，还是一个无理数，然后有理数加减无理数，还是无理数，这一点大家记清楚就可以。然后这个棋我教材上面也有，就是高分子数学分册，这题因为题目写错了，怎么写错了？现在算也太麻烦了，就先调过。然后方法就是刚刚说的那样。

再看一下一题的话，下一级涉及到根号，根号的话，那么首先想的肯定是开平方，开平方左边的平方，右边的平方。

那么这边开出来就是a方减4倍的根号2，然后右边开出来的是m加上减去两倍的根号下mn这么可以看出来什么？首先 a是个整数， m平方肯定是个整数，那mmn也是整数，那m加n肯定也是个整数，所以他们俩要左右相等，那么它们俩肯定是相等，因为右边这个是个无理数，这个也是个无理数，所以整数跟整数相等，无理数跟无理数相等才能满足这个等式是相等的。你这样的话就a方就等于m加n然后mn等于。因为咱们得两被告二有两个刚刚下mn等于两倍根号2，所以mn=8，mn等于8，然后就连离这个式子还是三三个未知数，两个式子肯定要借助我刚刚说的不定方程要借助它整数的性质，然后穷举，穷举的话mm整数几种情况。

要么m是？24428118这种情况。然后我们看一下，2+4和4+2都等于6，那么a的平方算不出来正数，就是得不到整数。那么1+89，那么a就可以得到整数，a等于3或者-3都是整数。两种情况。然后情况，a加m加n的m加n是一样的，都是m加n不管它们俩 m随时一随时把m加上都是9，然后再加上a加a=3的话，那么是一个数加a等于-3是另一个数。那就是说总共取值会有两种情况，所以这一题选的是 a选项。

然后这一期的话这一期就做题涉及到一个新出现的知识点，先看，先把它给分解一下，先提个n出来，然后是剩下n方-1，n方减一的话等于什么？

N方1=n1， n+1乘上n-1的n+1乘上n-1乘上n-1，然后这边还剩个也就是说 n减一乘n再乘上n加一是三个连续的正整数乘在一起， a是正整数吗？那么n+1n-1也是正整数，你这样的话涉及到一个什么？知识点。三个连续的整数的成绩是一定能够被三的阶乘指出的，定理的话是这样的，首先它是连续两个整数的乘积一定能够被二的阶乘整数，连续三个整数的乘积一定能够被三的阶乘整数，然后连续k个整数乘积一定能够被k的阶乘整数，这是这个定义。所以记得定理的话就很好用，能够被三的阶乘整除，3的阶乘等于6，他一定有约束力。

你知道定理的话就很简单，所以这题主要是给大家补充一下知识点，再看一个也是涉及到涉及到榆树的问题。

语数的话，首先n的8倍和5倍之和就是巴恩加上5n它等于13，然后他说13n÷10的余数是9，就说明÷10的余数是9是什么意思呢？你就是说这个数的末位一定是9。大家想一下，÷10于9，末位一定是9，末位一定是9的话，那13乘上一个n13乘上一个n它等于一个末位是9的数，那么n的末位就很简单了，n的末位数一定是3，很容易理解。

选3然后涉及到质数的问题之出的话，这一题不仅涉及到质数，还涉及到整数。首先它除以某个质数，余数得到13，我们1531把13减掉，等于1518，1518的话就要分解质因数，分解质因数怎么分解这一题？就涉及到能够被11整除的数了，能够被十一整除，首先这两个加在一起，二这两个加在一起是13，他们俩的差是11能够被11整除，对吧？也就是说这个数是能够被11整除的，这个树能够被十一整除，我们先除以11，15÷15÷11，15 15 18÷11。

11、41、41上多少3？33~88。138。138，然后再除以2。首先分解一个11出来了，然后再除以2的话，÷2还是多少？69。69再出一个3。

23，分解一个22一个23 23是个质数，分解就分解成这样。所以人这样他出除以一个质数，余数得13，比如说你要除以的数肯定是在这个里面，在这里面的话，而且你分解出来的时候肯定都是分解出来都是质数。也就是说这里需要注意就是余数是13，那么你除以这个质数它肯定是大于13的，只能是23。

它求的是个位数之和，那么就是2+3=5，选d这一题，这里有一点要给大家说一下，你最好能把100以内的质数都给记下来，100以内的质数很重要。因为你到时候考场上遇到有关什么直属，像比如23页就能看出来是直属。然后另外他有时候还让你有时候他经常会考20以内直属的问题，但是你要求高一点可以记到100以内，也不是很多，你自己把它写出来，然后记一下就可以。然后这一题说200个糖每次2颗、3颗、4颗6颗的取出，最后都剩1颗。如果每次11颗取出正好取完，然后求盒子里面m颗糖，要求各个数位之和，各个数位之和要注意200克糖不多于200克，不多于200颗糖。

这一题是一个怎么说是彤鱼的问题，就是说你÷2÷3÷4÷六，它的语速是相同的，同于的话我们就给他减掉。比如说有m课堂吗？门口头。那么减掉，那么这个数据可以同时被2346整除了，我们就取2346，我们找它的最小公倍数，最小公倍数是12，最后没有12的话，那m-1就等于12，k是12的倍数。么m就等于12k+1。

然后我们又知道 m12k+1能够被11整除，能够被11整除，那我们怎么写？11k加k+1给它转变成这样，对吧？这个能被谁忍住，那 k+1一定要被11整除，要么等于11，要么等于22，要么等于多少？那么等于11的话k等于10，等于22的话q等于21，然后下面很多那就把key带进去，这个等于121。满足 m不多于200克，21带进去的话，就大于200克了。所以m只能是121， m只能是121的话，那么个数位加在一起=4选c然后说一个纯循环小数的问题，程序员少数循环小数化成分数，这个知识点大家我给大家说一下，考的好像不多，我好像从来没见过这种企业，但是还是需要了解一下，我觉得。

首先纯循环小数化为分数的话，纯循环小数它的小数部分是可以化成分数的，比如说如果是7点什么？ Abc的循环。那么 abc这一块是可以化成零点abc这一块，再到c循环，它是可以化成分数7你肯定要写出来单独7又多分之多，对吧？

陈元小数小数部分可以化成分数，这个分数怎么花的？分数。分母是9或者99999，到底有多少个9，它是看循环节的数量，你 abc循环也有三个。那就三个9。999分之abc，这就是循环小数化成的分数。

那么混循环小数混循环小数的话，它就可能刚开头的话，混淆小说它可能是比如说零点，0点 a BC d它从 b开始循环，前面的不循环，自从bcd开始循环，这样的话，他化成分数，首先他的头几位是9末，几位是0？酒的个数与循环节中的位数相等，也就是说循环界有三个，那就是三个9，0的位数不循环low，相等，那就加一个0，然后它的分子是第二个循环节之前的小说，一个循环接bcd第二个循环接之前就是abcd这部分，就是abcd组成的数就是这个数与小数部分中不循环的数的差，比如说与a的差减a会喜欢小树画成混悬小数化成分数的样子，大家了解一下就可以。

应该不会考。那么这一题就是999分之abc，他最简分数就是分子分母的和是58，58，那么这个数他肯定是能化解的。

那么我们就看999它的看一下999他给他分解一下质因数，就有分解质因数的话，首先我看一下3、3339111111还能除以33。最后一个37，可以分解成这几个。因为这几个的话，然后我们看这是一个零点多少的？零点多少的小数，那么它的肯定是分母大于分子的，分母大于分子的时候，也就是说你化简到最后58÷20多，58÷2=29，你的分母是肯定是大于29的，对吧？这样的话可以保证分母大于分子。然后这是我们看到有个37，那么基本上可以确定这个分母就是37了，37大概29，小于58，然后58-37，58-37就是2021。

再乘上。我要求abc吗？21。37分至21，37变成999×27，21×27，等于567，这样的话加在一起18。

答案选a这道题这道题首先我看一下，方法好像方法有两种，应该还有更多的方法，常用的应该两种方法，首先第一种我们用等比定理，我刚才说等比定理很重要，这里就能用了，用等比定理就非常方便，都加在一起还是相等的，也就是说上面加在一起a加b加c加d下面加在一起是三倍的a加b加c加d对吧？加在一起，跟这4个都是相等的，也就是说它也是等于n的，你等于1/3吗？这个月掉n等于1/3吗？

那么需要注意的什么？需要注意，刚刚说了，你加在一起你要保证这4个是不等于0的，要保证这4个不等于0，但你他没告诉你，他只说他们是非临时住，没说他们家在一起不能不能等于不等于0。所以你还要去验，你还要去验证一下，如他们会不会如果他们等于零会怎么样？要考虑一下a加b加c加d等于0这种情况，等于0这种情况那是什么呢？等于0的话a加b加c加d那b加c加d等于负a这个等于负a a加c加d等于负b等于负c等于负d那n就等于-1，所以两种情况要么是-1，要么1/3，对吧？

第二种方法的话就麻烦一点，每个都乘一下a就等于b加c加d乘上n然后b就等于乘上n然后 b等于 b等于a just see。加d乘上n然后abcd最后4个式子加在一起，a加b加c加d等于 a加b just see家地×3n然后把左右 a a加b加c加d提出来， A+B加c家地乘上一个三n-1等于0，要么a加b加c加d=0，要么3-1=0。那么等于1/3，然后等于0的话跟刚刚一样等于-1。

两种情况，具体选一然后这个的话对刚刚说的均值定理的运用，需要注意的非常重要的一点就是你在运用它的时候，这个是x的平方，一个x肯定不行，你要分拆分成两个x然后乘在一起才能把 x消掉，它成为一个定值，我刚才说一正二定31做均值定理的时候，一定要记着一正二定三相等，它的拆分的话，一定要记得，一定要记得，平均拆分，就是说你三x你拆分成两个，你就是3/2+3/2x然后再加上x的平方分之4，然后就用均值定理大于等于三倍的三次根号，然后他们存在一起以及xx小屌丝消掉，大于等于最小值就是这个。你学会均值定理，你学会平均拆分，答案瞬间出来，很快，你看一下提我喝口水休息一下。

再看这一题，x大于0，y大于0，然后x+2y=4，然后求log x加log y最大值。首先根据4等于x加2 x+2y x加y x大于0，y大于020，我们可以用一下均值定理，大于等于两倍的根号下20万，大概两倍高一些24万。也就是说四是大于等于两倍的根号下，20万你可以得到根号2大于等于根号下xy然后 x y是小于等于2的，因为x大于0y大于0，那就我们不用再单独去打理这种东西了。然后log x加log就是log x x y最大值出来了， log x它是一个这样的函数，它是一个递增的，那肯定是捞嘎尔最大的选a然后这个又是一个公倍数的问题，提供三种饮料，平均每两人用一瓶A每三人1B CNN ppc，你注意一下他的题目可能可能有时候理解会出偏差，这一题他说的是就两人用一瓶A31个pb，私人用一瓶C就是说每个人都会有abc这3个人，而看你心情什么选a选b选c像这种企业你做多了你就就感觉到你这234你肯定是找最小公倍数。

首先234出来一个最小公倍数是。然后是最小公倍数是多少？二。10 12。对，12。主要我没有杀。首先找到他们最小公倍数12，也就是说他说65瓶饮料就是总共喝了65瓶，每瓶饮料都是喝完的，那么就是说另一条喝完了，另一条喝完了，另一条喝完了。所以说你到的人数肯定是2的倍数，也是3的倍数，也是4的倍数，所以它就是要找一个最小公倍数，12。

12的话，那么12个人12个人要喝6瓶饮料，视频并没有和三屏c饮料这一拨人加在一起就喝了13瓶，65÷13，65÷13=5，也就是说有55波12日，也就是12×5总共有60。挺简单。主要就可能问题的理解会出偏差，别的基本上用最小公倍数做没什么问题。我们来看绝对值的问题，这个绝对值的话就用到刚刚说的绝对值的性质，绝对值前面说绝对值的等价性，就是说我们要把平方跟绝对值的平方进行互换，进行互换，你要是按照ab分类讨论ab大小的话， a b效应肯定一个正一个负，你要讨论ab正负的话，那么非常麻烦，计算量非常的大。如果如果你用我们性质等价的性质，再做一个公因式的提取，比如说把a的平方就换成a的绝对值的平，乘上b减 b的绝对值的平方乘上a的绝对值，你们是等价的吗？

然后加上然后a的绝对值减b的绝对值，然后这边7个一笔提一个a的绝对值，一个b的绝对值，然后里面是还剩一个a的绝对值减去一个b的绝对值，这边再加上一个ab一个小括号和a的绝对值减b的绝对值，然后这两个再提到一起， a的绝对值减b的绝对值，然后乘上绝对值乘b的绝对值加ab然后再根据a b小于0，那么这个是一个正一个负，那么它开出来肯定要带一个符号等于负ab回避加上一个ab等于0，你这题答案就等于0选0。

就这题还有你想一下，如果不会做怎么办？如果不会做你忙才肯定选题。

你这个式子这个式子它是一个代数式，你待会是你要么减出来是一个代数式，要么减出来是0，怎么可能解读1234这种东西？妈你要是不危险就直接选你了。就是说你在考场上遇见不会写，忙拆的时候一定要也是要有技巧的，可以提高你的准确率，然后这一题的话就是三角不等式了。三角不等式也是能够帮助我们解题这东西，你要是分类讨论也是非常麻烦。

你首先三个0点，一个是1，一个是3，一个是-1，要讨论小于-1的，然后-1到一之间的，然后1~3之间的，然后大于3的，投了很麻烦。但是用三角不等式的话，这个是a就把它看成a把它看成b a的绝对值加上b的绝对值，让你看a减b正好等于x+1，a减b是不是正好等于x+1？那里面用的就是三角不等式的这一块。这一块如果等于的话，我们知道三角不等式刚也跟你说过，三角不等式，这个等于因为是异号，所以ab是要效益的小于等于0，ab小于等于0。

等一下我看一下。对，没错，ab小于等于ab小于等于0的话，那就是2x-2，然后乘上x-3，小于等于。这样的话就能直接解出来x是大于与1小于等于3，然后他整数根，这竹根就能看出来123，然后一个比大小的问题，比大小的话，有大小我在考场上的话我是喜欢用特制的，希望用特殊感觉特值算起来快一点。

一般解法的话是因为首先这个式子可以推出来什么呢？这个式子推出来，推出来 a加b是小于a减b的理解理解，人家比校园一间的因为a是个都是负的一个数，一个数加上一个负数肯定小于减去一个负数，因为b是大于-1的，所以 A-1一定小于一个a加b对吧？然后又是因为腹壁小于1，同时乘上一个符号，可以得出 a减b小于+1，然后综合这三个就能把它们顺序排出来了。

单选1-1最小，然后a加b a减b然后a+1。这样普通学法感觉是有点麻烦，但是你在退职的话，就随便负的0.8，负的0.2，或者你想到其他的用分数负的什么1/21/3都可以。然后刚刚这一点就是我们说的 x比上等于 x绝对值变成x然后等于复议和。一，然后x小于0，大于0。就是这个东西。

这个东西，然后代入式我们就肯定要分类讨论，因为它是44个这种东西我们讨论 a b c的正负，abc的正负有几个？

Abc政府首先 abc如果是两正一负，讨论abc2正1负的情况，首先首先讨论abc abc议政，一证二付，然后二证已付三证，还有一个三副讨论这4种情况，这种情况两正一负的话2正1负，首先一一一两一正两副的话是一两个0，然后挣的这个证的事，再加上一一两个富一，一个一两个-1再加一个1=0，两正一负，两正一负也是。两一，算一下也是等于0。

然后就是三证和三复，三正和三负的话，一一一它也是一37 24，三负的话就是11-1，它盛在一起也是负的，所以是-4。可能取值那就三种，0-4和4，然后后面来两到。叫条件充分性判断，条件充分性判断的话，首先看到肯定想的是把它提出来的话，那就是根号下5-x事实上根号下 x-3的平方，然后就等于根号下5减x然后x-3的绝对值，自检查绝对值他们俩肯定是相等，他们俩是相等的，他们俩相等的相等，相等，但是它有一个条件，那就是5减x大于等于0的，因为这个根号下面要求大于等于0，然后x-3，x-3也是大于等于0了，你就可以算出来x是大于等于3小于等于5。

这个时候条件重新判断，就是要判断x大于三能不能推出？能不能推出它？然后x减小于等于6，能不能推出它？一个x大于等于3肯定退不出来他，然后一个x小于等于6也推不出来，两个结合在一起的范围是x大于等于。X小于等于还是推不出来这个东西。所以权益难得有一个选一的题，考试中选一是很少的，其实。两个单独不成立，然后联立在一起还是不成立。中选一。

然后再看最后一题，最后一题的话也是一个比较简单的条件重新判断，就看到有这个绝对值。

首先第一反应肯定感觉是开绝对值，但是如果你开绝对值就要讨论，还是比较麻烦。那么就想想能不能用，变一下，给这个式子提取一个公因式二变形态什么的，你就从它开始入手，我们给他底下提个一个a有a乘上a加一分之a的绝对值等于负的1+1分之一，这样就可以写成a分之a乘上一个a+1，1%等于a加一分之负的1+1/1，又是这个东西，就是这个东西。对吧？就说明 a的绝对值除以a它是等于-1的。

刚才也说了他是等于-1的话，那么小于0，但是你在做的话，还得前面前面还有条件，a+1它不能等于0，这边a小于0肯定不等于0的， a+1也不等于0，也就是说a不等于-1，a不等于-1，你这个式子写出来立马就要反应过来，a+1不能等于0，这个条件你一定要记得，分母不能等于0，在你写出分尸的时候要随时注意这一点，要不然你就可能会犯错。有很多同学感觉自己做的都对，这些细节他注意不了，注意不了就容易犯错。

分母不能等于0，这一点是经常会考，经常是是命题老师经常挖的一个陷阱。所以大家一定要特别关注这一点。然后算出来的话就是a小于0且a不等于1，且a不=1，而且也不等于-1，算出来是然后就拿条件来推这个 a小于0，a小于0推不出来， a小于-1，也小于-1的话可以满足他的范围比他小，它的范围比它小。在这个范围以内，在这个范围以内的，它都是满足这个条件的。

第一个条件它的范围比他大，所以他就可能出现满足不了题干要求的。所以这一题 a单独是不充分，然后b单独的重分，所以这一题选的是b关于条件重新判断充分与否的话，大家多练习，充分 a推出b那么a就是b的重合，b就是a的必要条件，这一点大家都知道。所以是否充分这一点，多练，一定要多练，多练之后充分跟必要你就能判断的很清楚了。

然后回去的时候，第一章的数学分册一定要一定要做一定要刷，也就是月第一个月先把7月份就先把我们的数学分册刷第一遍，这一本书总共是12章，12章的话你估计两天刷一章，就第一天把第二节和第三节写完，然后第二天把第4节写完，第4节第5节写完就可以了。就两天写一张的话，一个月肯定能完成吗？有的章节题目可能多一点，可能花个三天，反正一个月之内搞定第一遍肯定可以的。题目一定要做，有不懂的就可以在惠园教育的内部群里一起交流。